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課程資訊 || 課程簡介 

必修課程 數學領域 機率與統計領域 組合數學領域 科學計算領域 

課程名稱
課程簡介

必修課程

微積分(一)、(二)
微積分是應用數學系最重要的基礎課程之一。它不僅在物理、化學、生物等自然科學領域中已有非常廣泛的應用,近年來它更成為經濟、金融、商管等領域的一個重要的研究工具。本課程介紹微積分的基本理論與應用,是一學年的科目,分上、下學期。上學期內容包含單變數函數的極限、連續、微分、積分、積分技巧以及它們的一些應用。下學期內容包含無窮級數、向量微積分、多變數函數的偏微、全微、重積分以及它們的一些應用。
數學實習(一)、(二)
這門課主旨在協助同學透過做題目的方式,對微積分有更精熟的了解。題目來源預計涵蓋重要教科書習題與研究所考題等。授課教師亦將對重要觀念做一複習與整理。
線性代數(一)、(二)
線性代數是各數學領域的最重要工具,亦已廣泛應用至社會及自然科學,資訊科學,及統計學裡。本課程將介紹線性代數裡一些重要的主題,其中包括向量空間、基底、線性變換、線性系統、特徵值、特徵向量等。課程將從計算方面著手,藉由在演算的過程中,觀察並證明各主題中的一些基本理論。
計算機概論
計算機是現代科學家必須具備的工具。這門課在快速瀏覽計算機歷史與運作的基本原理與簡介常見的工具軟體後,主要會將重心放在 C++ (或 C) 語言的簡易語法與程式設計,以及數學軟體 Matlab 的操作及語法。一方面希望將來在高年級修習本系必修課程時,能利用本門課所學的工具對課程內容加以實驗或實證以深化理解;另一方面也對需要上機的進階課程作準備。
基礎數學(一)、(二)
用較高觀點整理並統整初等數學,涵蓋高中數學的基本工具、知識及重要的大學數學概念。強調初等數學和高等數學的脈絡與連結,並鞏固初等數學的操作與思考能力。
程式語言
這門課銜接計算機概論,主要放在 C++ (或 C, Phyton) 語言的語法與程式設計,以及數學軟體 Matlab 的程式設計,一方面加強程式撰寫的基本邏輯,也進一步加強學生撰寫進階程式的能力,為數值計算等相關課程打下紮實的基礎。另外,利用 C++ 語言介紹物件導向程式設計的觀念和語法,同時練習撰寫應用程式(如搜尋器等)以顯現程式設計的應用,並可直接銜接資料結構,演算法等進階課程。
機率與統計(一)、(二)
今日機率與統計已成為許多學系之必修科目,其重要性不言自明。對應用數學系,此不但為一很基礎的課程,且其應用廣泛。 此課程分上、下二學期。上學期內容包含基本概念、常見分佈,及多維隨機變數等。下學期內容包含隨機樣本及其他、資料減縮,及點估計等。使學生了解隨機性的概念,並學到基本的機率與統計知識,為本課程之目標。
高等微積分(一)
高等微積分是大一微積分的延伸,主要是在討論在高維度Rn及一般有距空間(metric space)上空間及函數的性質。首先,我們探討點集拓樸(point set topology),定義並討論所謂開集合(open set)、閉集合(closed set),連通集(connected set)及緊緻集(compact set)等等的性質。有了點集拓樸的概念後,我們便可以開始定義在有距空間上的極限(limits)、連續(continuity)及導數(derivative)的概念及其基本性質。
高等微積分(二)
延續高等微積分(一)的課程,我們會介紹有界變分(bounded variation )的概念,並用此定義出Riemann-Stieltjes積分,此積分在機率與統計中十分有用。再來,介紹函數數列(sequence of functions)並討論其收斂性是下一個重點。而多變數函數的微分積分與反函數定理、隱函數定理亦是高等微積分(二)的重點。
微分方程(一)
物理與自然界的現象大多可用微分方程來建構。以牛頓力學為例: F=ma就可表成微分方程F(x,y)=my(x)。其他如生態學,人口問題皆可用微分方程來研究。在本課程中,我們會介紹一些利用微分方程來描述的數學模型並學習解基本的解題方法,再加上電腦軟體的輔助,讓我們對問題在理論及應用方面更加了解。
組合數學(一)
當代科技中電腦佔有非常重要的地位,而電腦的內部運作是離散的(0與1)。組合數學討論離散的結構,因此成為當代數學的重要分支。本門課為離散數學的基本課程,一開始延續高中的排列組合,從討論離散結構的計數開始,接著發展出組合結構上的理論。課程內容包含計數原理,初步演算法,對應,組合設計,組合對局論等。
代數學(一)
本門課是近世代數(modern algebra)的入門課程。近世代數是代數學研究的一個部門,它運用公理化的方法(axiomatic method)研究代數問題。
傳統代數學討論的對象不外是實數、複數、多項式。近世代數研究的對象卻是群(group)、環(ring)、體(field)、模(module)。這四個是具有某種運算的集合,這些集合的元素可以是實數或複數,也可以是函數,甚至可以不賦予任何具體的意義。正因為它研究的對象是抽象的集合與其元素,而不再局限於統的複數與多項式,所以有人把它叫做抽象代數(abstract algebra)。
這門課的內容相當豐富,原則上是設計成一學年的課程。在第一學期我們主要介紹群的基本概念以及相關的基本定理,重點將放在商群(factor group)概念的引進、第一和第二同構定理的運用,以及Sylow定理的介紹與其在群分類(classification of group)上的應用,接著進入環的概念和其基本性質以及同構定理的介紹。第二學期一開始將討論幾個特殊的整環,如多項式環、Euclid整環和唯一分解環(unique factorization domain)等,然後將進入本課程的核心: Galois理論的介紹。這部分包括體的概念和體擴張(field extension)的介紹、正則擴張(normal extension)和可離擴張(separable extension)的性質,最後是Galois理論基本定理的討論和其在方程式根式解的應用。
數值方法
此課程目的在介紹基本的數值逼近(approximation)的方法及其相關的理論。主要在介紹給學生不同難度,準確度的計算方法,然後如何去判斷選擇適當的方法來處理不同的問題。除了背後理論及紙上計算之外, 也討論如何將數值逼近方法轉換成演算法,並上機運作將演算法寫成應用程式計算出數值解。上課範圍包括 fixed point and Newton method, polynomial approximation, numerical quadrature, Runge-Kutta and other multistep methods.

數學領域                                top

數學實習(三)、(四)
這門課主旨在協助同學透過做題目或上台實作的方式,對高等微積分的授課內容有更精熟的了解。題目來源將是高等微積分課程所使用的教科書的習題,而授課教師亦將對各重要觀念做一複習與整理。
幾何學導論
本課程主要是讓學生學習曲線及曲面在歐氏空間(通常是二維及三維)的一些基本性質及相關理論,亦可為以後在進入其它科學領域(如相對論、力學)或工程領域(如電腦繪圖、控制理論),提供所需之基本知識。
進階數學實習(一)、(二)
這門課是一學年的課程,主旨在協助同學透過演練題目的方式,對微積分、高微、線代等科目
有更精熟且通盤的了解。題目來源預計涵蓋重要教科書習題與研究所考題等。授課教師亦將對各重要觀念做垂直與縱向的整合。
微分方程(二)
這門課主要延續微分方程(一),除了利用Laplace變換解題之外也著重在解的分析,包括線性系統方程、特殊解的穩定性、存在唯一性定理證明及微分不等式的應用。基本的偏微分方程與Fourier變換及邊界值問題也會討論到。
代數學(二)
本門課是近世代數(modern algebra)的入門課程。近世代數是代數學研究的一個部門,它運用公理化的方法(axiomatic method)研究代數問題。
傳統代數學討論的對象不外是實數、複數、多項式。近世代數研究的對象卻是群(group)、環(ring)、體(field)、模(module)。這四個是具有某種運算的集合,這些集合的元素可以是實數或複數,也可以是函數,甚至可以不賦予任何具體的意義。正因為它研究的對象是抽象的集合與其元素,而不再局限於統的複數與多項式,所以有人把它叫做抽象代數(abstract algebra)。
這門課的內容相當豐富,原則上是設計成一學年的課程。在第一學期我們主要介紹群的基本概念以及相關的基本定理,重點將放在商群(factor group)概念的引進、第一和第二同構定理的運用,以及Sylow定理的介紹與其在群分類(classification of group)上的應用,接著進入環的概念和其基本性質以及同構定理的介紹。第二學期一開始將討論幾個特殊的整環,如多項式環、Euclid整環和唯一分解環(unique factorization domain)等,然後將進入本課程的核心: Galois理論的介紹。這部分包括體的概念和體擴張(field extension)的介紹、正則擴張(normal extension)和可離擴張(separable extension)的性質,最後是Galois理論基本定理的討論和其在方程式根式解的應用。
複變函數論(一)
本課程主要是在討論複數平面上函數的性質與應用,首先我們先定義所謂的解析函數(analytic function),然後再探討此種函數的線積分(line integration)及其在上面的性質,其中最重要的便是留數定理(residue theorem)及其在估算一般indefinite integral上的應用。
矩陣理論(一)、(二)
矩陣在各個科學領域中相當重要工具。本課程主要深入介紹矩陣的一些性質跟理論,有助於學生能更了解矩陣。課程將從向量空間、基底、線性變換開始,藉由這些主題導引出矩陣,深入探討矩陣的一些性質跟理論,最後再結合內積空間,觀察及證明出更多矩陣的特性。
基礎數論
數論是研究數的性質,是古典數學的重要分支。本課程將介紹數論的基本概念,如同餘、二次剩餘、原根、不定方程等及一些相關應用,如RSA密碼學等。

機率與統計領域                             top

微分方程(二)
這門課主要延續微分方程(一),除了利用Laplace變換解題之外也著重在解的分析,包括線性系統方程、特殊解的穩定性、存在唯一性定理證明及微分不等式的應用。基本的偏微分方程與Fourier變換及邊界值問題也會討論到。
機率論(一)、(二)
大數學家拉普拉斯曾說,大部分生活中最重要的疑問,都只是機率的問題。自二十世紀的三十年代起,機率論成為數學中之一領域。自此機率論有長足的發展,其重要性並逐漸提高。 今日機率中不但有很多理論值得探討,從中並可更加了解數學的應用。此課程分上、下二學期。上學期內容包含機率空間、隨機變數,及條件機率及期望值等。下學期內容包含各種轉換,及極限等。
數理統計(一)
這門課主要為延續機率與統計課程的內容,在同學對於隨機變數與常見的分配有所了解後,介紹同學資料減縮與點估計的概念,再介紹估計量評比的準則,希望同學在修完本課程後能夠對統計量與常見的點估計量有所認識,並掌握其計算方法與估計量間的評比原則。
數理統計(二)
這門課主要為延續數理統計(一)的內容,介紹同學統計上假設檢定與區間估計的概念,希望同學在修完本課程後能夠對假設檢定與區間估計的原理與應用有所認識,以奠定日後學習更高階統計課程之基礎。
矩陣理論(一)
矩陣在各個科學領域中相當重要工具。本課程主要深入介紹矩陣的一些性質跟理論,有助於學生能更了解矩陣。課程將從向量空間、基底、線性變換開始,藉由這些主題導引出矩陣,深入探討矩陣的一些性質跟理論,最後再結合內積空間,觀察及證明出更多矩陣的特性。
財務數學
本課程主要介紹在財務上處理定價與避險問題時所使用的財務原理與數學計算方法。首先將介紹期貨、選擇權、信用違約交換...等衍生性金融商品的契約內容與交易規則,接著在二元樹模型的假設下引入無套利理論,並應用該理論介紹計算衍生性商品價格與建立避險投資組合的概念,希望學生在修完本課程後,能對衍生性商品定價與避險的方法有基本的了解。
組合數學(二)
本門課接續組合數學(一),成為完整的離散數學課程。主要介紹圖形論,這是組合數學另一個重要的獨立分支。動機來於將電腦網路的抽象化,因此成以數學討論抽象網路的基礎課程。課程內容包含圖形上的同構問題,染色問題,一筆畫與Hamiltonian 問題,計數問題,有向圖上的穩定流等。
財務工程
本課程主要介紹如何以隨機微積分計算財務上衍生性商品定價與避險的相關問題。首先將以二元樹模型引入無套利理論及衍生性商品定價的原則,接著在Black-Scholes模型下,介紹如何以隨機微積分計算衍生性商品的價格與避險投資組合的避險部位,希望學生在修完本課程後,能熟悉衍生性商品定價與避險的原則與其計算方法。

組合數學領域                              top

組合數學(二)
本門課接續組合數學(一),成為完整的離散數學課程。主要介紹圖形論,這是組合數學另一個重要的獨立分支。動機來於將電腦網路的抽象化,因此成以數學討論抽象網路的基礎課程。課程內容包含圖形上的同構問題,染色問題,一筆畫與Hamiltonian 問題,計數問題,有向圖上的穩定流等。
代數學(二)
本門課是近世代數(modern algebra)的入門課程。近世代數是代數學研究的一個部門,它運用公理化的方法(axiomatic method)研究代數問題。
傳統代數學討論的對象不外是實數、複數、多項式。近世代數研究的對象卻是群(group)、環(ring)、體(field)、模(module)。這四個是具有某種運算的集合,這些集合的元素可以是實數或複數,也可以是函數,甚至可以不賦予任何具體的意義。正因為它研究的對象是抽象的集合與其元素,而不再局限於統的複數與多項式,所以有人把它叫做抽象代數(abstract algebra)。
這門課的內容相當豐富,原則上是設計成一學年的課程。在第一學期我們主要介紹群的基本概念以及相關的基本定理,重點將放在商群(factor group)概念的引進、第一和第二同構定理的運用,以及Sylow定理的介紹與其在群分類(classification of group)上的應用,接著進入環的概念和其基本性質以及同構定理的介紹。第二學期一開始將討論幾個特殊的整環,如多項式環、Euclid整環和唯一分解環(unique factorization domain)等,然後將進入本課程的核心: Galois理論的介紹。這部分包括體的概念和體擴張(field extension)的介紹、正則擴張(normal extension)和可離擴張(separable extension)的性質,最後是Galois理論基本定理的討論和其在方程式根式解的應用。
複變函數論(一)
本課程主要是在討論複數平面上函數的性質與應用,首先我們先定義所謂的解析函數(analytic function),然後再探討此種函數的線積分(line integration)及其在上面的性質,其中最重要的便是留數定理(residue theorem)及其在估算一般indefinite integral上的應用。
基礎數論
數論是研究數的性質,是古典數學的重要分支。本課程將介紹數論的基本概念,如同餘、二次剩餘、原根、不定方程等及一些相關應用,如RSA密碼學等。
隨機圖論
隨機圖是指由隨機過程產生的圖,在本課程中,我們會討論在隨機圖中某單調性質的門檻函數以及隨機圖的演化。此外,我們會討論如何利用機率方法得知圖的組合性質,例如:independent number、domination number、chromatic number、connectivity 等等。預期熟悉機率方法讓它成為口袋工具,以便將來應用到研究上。

科學計算領域                              top

數值計算
此課程繼續大三上的數值方法,介紹數值逼近 (approximation) 的方法及其背後相關的理論。主要在教給學生不同的方法,然後從它們的收斂速度,準確度去選擇適當的方法去處理不同的問題。 除了背後理論及紙上計算之外,此課程也要求學生上機運作將演算法寫成應用程式計算出數值解。上課範圍包括一些矩陣計算的方法來解線性方程組,迭代的方法,implicit and explicit 的方法,正交多項式及最小平方估計法,trigonometric polynomial approximation, fast Fourier transform.
矩陣理論(一)、(二)
矩陣在各個科學領域中相當重要工具。本課程主要深入介紹矩陣的一些性質跟理論,有助於學生能更了解矩陣。課程將從向量空間、基底、線性變換開始,藉由這些主題導引出矩陣,深入探討矩陣的一些性質跟理論,最後再結合內積空間,觀察及證明出更多矩陣的特性。
微分方程(二)
這門課主要延續微分方程(一),除了利用Laplace變換解題之外也著重在解的分析,包括線性系統方程、特殊解的穩定性、存在唯一性定理證明及微分不等式的應用。基本的偏微分方程與Fourier變換及邊界值問題也會討論到。
複變函數論(一)
本課程主要是在討論複數平面上函數的性質與應用,首先我們先定義所謂的解析函數(analytic function),然後再探討此種函數的線積分(line integration)及其在上面的性質,其中最重要的便是留數定理(residue theorem)及其在估算一般indefinite integral上的應用。
矩陣理論(二)
矩陣在各個科學領域中相當重要工具。本課程主要深入介紹矩陣的一些性質跟理論,有助於學生能更了解矩陣。課程將從向量空間、基底、線性變換開始,藉由這些主題導引出矩陣,深入探討矩陣的一些性質跟理論,最後再結合內積空間,觀察及證明出更多矩陣的特性。
生物數學
課程主要在介紹基本生物數學模型。從常微分方程模型開始介紹單一物種的成長 (logistic growth model),延伸到考慮兩個物種之互相作用 (predator-pray & competition model)。再將物種之互相作用運用至反應方程上 (Reaction kinetics)。回到單一物種用偏微分方程加入考慮空間變數對物種的成長的影響 (traveling wave equation),再延伸到考慮兩個物種之模型 (reaction-diffusion equation)。
漸進理論與擾動方法
課程主要在介紹漸進(asymptotics) 的概念及其應用特別是在擾動方法上。已常微分方程為主來討論 regular 及 singular 擾動方法的運用。討論 boundary layer problem 的處理方法及其解題所需的matching principles (intermediate matching 及 Van Dyke matching principle), 多重時間 (multiple timescales) 問題的處理方法及 WKB方法處理的問題。
數理神經科學導論
本課程為微分方程和數值計算等基礎課程在生物領域的應用.介紹如何利用和發展微分方程和數值計算等理論或工具來研究生物神經系統(包括記憶,視覺,聽覺等等)運作機制的基本原理。